Математика і політика: Індекси влади або навіщо політикам комбінаторика?

Ключовим питанням політичного процесу є влада. Щоб отримати владу люди брешуть, маніпулюють, витрачають час і гроші, йдуть на злочини. І іноді можна сказати, що влада абсолютна, але все таки в житті влада є обмеженою різними інституціями і структурою держави. В цій публікації ми розглянемо індекси влади - формально-структурний показник “сили” тої чи іншої посади (різні неформальні впливи або махінації розглядатись не будуть, але навіть такий інструмент досить корисний для розуміння).

Інтуїтивно ясно, що влада одного депутата менша за владу фракції 20 депутатів (якщо вони домовляться голосувати спільно, як один). А влада 226 депутатів має бути більшою за владу 225, оскільки рішення ухвалюються більшістью. З іншого боку ще є президент (який за рахунок права вето також є стороною законотворчого процесу) і в нього також є влада, правда неясно скільки. А от конституційна більшість повинна мати максимальну владу, тобто влада коаліції з 310 депутатів має бути така ж як і 315. В даному випадку під владою розуміється ухвалення законів.

Індекс Шеплі-Шубіка

В 1954 році у статті двох визначних вчених Ллойда Шеплі і Мартіна Шубіка було запропоновано метод виміру, який отримав назву індекс влади Шеплі-Шубіка. Його ідея, як це часто буває з математичними результатами, дуже проста, але її реалізація вимагає знання комбінаторики і конкретних обчислень. Оскільки за емпіричним правилом одна формула в тексті зменшує кількість читачів удвічі я спробую обійтись словами і табличками.

Приклад 1.

Отже, уявимо собі, що є комітет з чотирьох осіб А, Б, С, Д. Для успішного голосування потрібна проста більшість. У А - голови комітета два голоси у голосуваннях. Таке часто використовується для парної кількості, щоб рішення завжди ухвалювалось. Як обчислити індекси влади?

Потрібно утворити упорядковані комбінації з учасників НЕНАЧЕ вони голосують послідовно і відмітити чий голос був вирішальним - тобто таким, після додавання якого рішення стало ухваленим. Потім для кожного учасника поділити кількість комбінацій, де його голос був вирішальним на кількість всіх комбінацій, це і буде індекс його влади.

Як відомо існує N! (N факторіал) способів упорядкувати N елементів. Також, використовуючи теореми про множення та додавання комбінацій можна отримати результат відразу, але давайте напишем всі 24 комбінації, виділяючи жирним вирішальних учасників:

АБСД БАСД САБД ДАБС

АБДС БАДС САДБ ДАСБ

АСБД БСАД СБАД ДБАС

АСДБ БСДА СБДА ДБСА

АДБС БДАС СДАБ ДСАБ

АДСБ БДСА СДБА ДСБА

Отже А має 12 комбінацій, Б, С, Д по 4 кожен. Усього комбінацій 4! = 24. Їх індекси влади:

А = ½

Б, С, Д = ⅙

Приклад 2.

Припустимо у нас в парламенті (Верховній Раді) є дві партії А та Б, кожна з яких має по 200 голосів (і решта партій не може утворювати з ними коаліцій).

Утворимо всі можливі комбінації А та Б та обчислимо комбінації (їх усього чотири).

АБ БА

індекси влади однакові А = ½ Б = ½

Звичайно, це тривіальний приклад. Його мета продемонструвати, що індекс влади узгоджений з здоровим глуздом.

Приклад 3. Розглянемо ситуацію з нашого життя. Згідно сайту Верховної Ради на сьогодні фракції налічують таку кількість депутатів : БПП 136, НФ 81, ОБ 43, Самопоміч 25, Радикальна партія 21 та менші.

Уявимо собі коаліцію з перших чотирьох фракцій та обчислимо їх владу відповідно до індексу Шеплі-Шубіка (комбінації виписувати не будем, просто результат. Вирішальним будемо вважати досягнення 226 голосів - простої більшості).

Виходить: БПП ½ НФ ⅓ ОБ 1/12 Самопоміч 1/12.

Европейский союз

Перший Європейський Союз був утворений Германією, Францією, Італією, Бельгією, Нідерландами і Люксембургом в 1958р. При цьому Германія, Франція, Італія отримували по 4 голоси, Бельгія і Нідерланди по 2 голоси а Люксембург 1 голос. Для ухвалення рішення потрібно було 12 з 17 голосів.

Питання: яку владу отримали країни за цією угодою?

Для обчислення індексів влади Шеплі-Шубіка уже не вийде просто виписати всі 6! = 720 комбінацій (можливо але дуже довго). Тому застосуємо комбінаторний інструмент розбиття на частини і обчислимо індекс влади Франції. Коли голос Франції буде вирішальним? Якщо країни перед нею у комбінації налічують 8, 9, 10 або 11 голосів.

Ситуація: рівно 8 перед Францією.

Це можливо у таких випадках:

1. Германія і Італія перед нею (2! = 2 способи), Бельгія, Нідерланди і Люксембург позаду (3! = 6 способів), за теоремою множення 2*6 = 12 способів.
2. Германія, Бельгія, Нідерланди попереду (3! = 6 способів), Італія і Люксембург позаду (2! = 2 способи). Разом теж 12 способів.
3. Італія, Бельгія, Нідерланди попереду (3! = 6 способів), Германія і Люксембург позаду (2! = 2 способи). Разом теж 12 способів.

Отже в цьому випадку 36 випадків, коли Франція вирішальна. Для решти ситуацій рахувати тут не будемо і випишемо відразу загальний результат:

Цілком природним є рівність індексів для країн з однаковою кількістю голосів. Цікаво, що індекс Бельгії і Нідерландів вище за їх відсоток голосів, а бідолашний Люксембург взагалі має нульовий вплив.

В 1973 до ЄС додалися Великобританія, Ірландія і Данія. ПІсля переговорів вирішили, що Британія повинна мати таку ж силу як Франція, Ірландія і Данія - менше ніж Нідерланди, але більше за Люксембург.

В новій угоді розподіл голосів був такий:

Германія, Франція, Італія, Британія по 10

Бельгія і Нідерланди по 5

Данія і Ірландія по 3

Люксембург - 2

Необхідно для ухвалення рішення 41 з 58.

Тобто, кількість голосів у кожної країни зросла по різному. У великих країн у 2.5 рази, у Люксембургу лише в 2. Цікаво, що в результаті індекс влади Шеплі-Шубіка Люксембурга виріс! Це сталось тому, що тепер можливі комбінації де він буде вирішальним (в попередньому випадку таких комбінацій просто не могло існувати).

Реформа ООН

В раді безпеки ООН, як відомо, спочатку було 5 постійних членів і 6 непостійних. Для проходження рішення потрібно обов’язково всі 5 голосів постійних членів + 2 непостійних. Інакше рішення ухвалене не буде. Зрозуміло, що право вето - це потужна сила, але все таки: наскільки потужна?

Якщо обчислити індекс влади Шеплі-Шубіка, то вийде, що всі постійні члени (разом) мають вагу 0.987. Власне ділити немає сенсу, оскільки рішення вони можуть ухвалити тільки разом. Всі непостійні члени мають індекс 0.013.

В 1965 році США запропонували реформу. Ідея була в тому, щоб зробити раду безпеки більш демократичною. В неї додали ще 4 непостійні члени і підвищили вимоги до проходження - тепер потрібно 5 голосів постійних членів і 4 непостійних.

Як змінилась сила країн?

Обчислення показує, що індекс влади постійних членів зменшився до 0.982, відповідно індекс влади непостійних зріс до 0.018. Тобто формально так, став більш демократичним, але реформою це важко назвати.

Влада президента

Обчислимо індекс влади Президента України. Для цього розглянемо всі можливі перестановки його і 450 депутатів. Президент буде вирішальним гравцем якщо перед ним розташовані не менш як 226 депутатів але не більше 300. В цьому разі його накладання / не накладання вето є ключовим для проходження закону.

Потрібно обчислити перестановки 226 можливих перших депутатів, потім 227 можливих перший депутатів, … 300 можливих перших депутатів (далі вже буде подолання вето). Знайти суму всіх комбінацій, коли президент ключовий і поділити на загальну кількість.

Після здійснення цього отримуємо, що індекс влади Шеплі-Шубіка дорівнює 0.159. Тобто, якщо взяти всю владу за 100% у президента приблизно 16%.

Цікаво, що оскільки насправді в Верховній Раді зараз менше 450 осіб, то влада президента трохи більша, приблизно 17%.

Для порівняння, влада президента США також 16%.

Індекс Шеплі-Шубіка є корисним для розуміння структурної ваги тої чи іншою сторони, наприклад, в процесі законотворчості. Це не єдиний можливий підхід, існують і інші. Наприклад індекс влади Банзафа.

P.S. На головній картинці один з найстаріших трикутників Паскаля для обчислення комбінаторних коефіціентів з китайського трактату, що був написаний за 300 років до народження Паскаля.